Как математика физикам свет заплести помогла

Американским физикам Вильяму Ирвину (William Irvine) и Дирку Боумистеру (Dirk Bouwmeester) удалось доказать устойчивость некоторых замкнутых решений уравнений Максвелла. В частности, результатом этого открытия является то, что свет теоретически можно завязывать в настоящие узлы. Основой для открытия послужила работа испанского физика, который использовал так называемое слоение Хопфа (абстрактное геометрическое понятие) в электродинамике. В рамках небольшой заметки оказалось крайне сложно изложить суть этого интереснейшего открытия, поэтому и было принято решение написать этот комментарий.

Бублики Хопфа

Хайнц Хопф (Heinz Hopf) родился в 1894 году в Германии. В 1942 году в связи с преследованиями со стороны нацистов, он сменил гражданство на швейцарское и сейчас известен всему миру именно как швейцарский математик.

В 30-х годах прошлого века Хопф занялся молодым и динамично развивающимся в то время разделом математики, называемым топологией. Топология представляет собой особую геометрию, изучающую самые общие свойства фигур, которые не меняются при их непрерывной деформации. От ряда других разделов "серьезной" математики топологию отличали, с одной стороны, наглядность многих задач и, с другой стороны, невероятная сложность их решения.

Так, представим себе бублик (в математике именуемый тором) и мячик (в математике именуемый сферой), выполненные из тонкого эластичного материала, например каучука. Можно ли, не повреждая (не разрывая) поверхность, только изгибая, растягивая и скручивая, бублик превратить в сферу? Здравый смысл подсказывает, что нет: ведь у бублика есть дырка, а у сферы она отсутствует. Однако для строгого доказательства этого интуитивно понятного факта необходимо привлечение мощного математического аппарата.

Перейдем теперь непосредственно к слоению. Представим, что в трехмерном пространстве выбрана некоторая ось. На нее нанизаны так называемые вложенные торы, то есть такие торы, что из любых двух один лежит внутри другого. Уместно сравнить их с матрешками: из любых двух фигурок одна всегда оказывается меньше и та, что меньше, располагается внутри той, что больше.

Торы упакованы настолько плотно, что через каждую точку пространства проходит по одному тору. Самый маленький из всех - тот который лежит внутри любого другого, - это окружность вокруг главной оси, с которой мы начинали.

Каждый тор, в свою очередь, разбит на окружности специальным образом. Представим себе, что бублик твердый. Будем обматывать его проволокой так, что, во-первых, на каждом витке проволока проходит в дырку тора. Во-вторых, каждый следующий виток отстоит от предыдущего на фиксированное расстояние. В-третьих, это расстояние выбрано таким образом, что спустя некоторое количество витков мы попадем в ту же точку, из которой начали. Там обрежем проволоку и скрепим концы. Путь, описываемой проволокой, называется замкнутой периодической траекторией на торе. Теперь через каждую точку каждого тора проведем такую же кривую (с тем же числом витков). Здесь лежит анимация вращающегося тора с несколькими такими кривыми на нем. Полученное разбиение и называется слоением Хопфа.

Узелком завязанный свет

Уравнениями Максвелла называется система дифференциальных уравнений, которая описывает эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с различными токами. С точки зрения современной физики, свет также является электромагнитным явлением, поэтому описывается теми же уравнениями.

В 1990 году Антонио Фернандес-Ранада (Antonio Fernandez-Ranada) из Университета Комплутенсе в Мадриде опубликовал неожиданный результат: оказывается, у уравнения Максвелла есть замкнутые решения. Более того, эти решения представляют собой окружности слоения Хопфа, то есть теоретически можно заставить свет "бегать" по кругу.

Долгое время эти решения воспринимались как математическая абстракция, не имеющая отношение к реальной действительности. Так было до тех пор, пока американские физики Ирвин и Боумистер не наткнулись на работу Фернандеса-Ранады. Они стали первыми, кто всерьез занялся вопросом возможной практической реализации "завязанного света".

В работе, опубликованной в журнале Nature Physics, физики выяснили, каким образом траектории зависят от времени. Оказалось, что со временем торы слоения начинают искажаться, скручиваться. Это означает, что во время опыта может происходить разрыв траекторий, и свет будет разлетаться. Однако оказалось, что некоторые кривые сохраняют свою форму и с течением времени остаются неподвижными.

Ученым даже удалось предложить в работе возможный способ зацикливания светового луча. Во-первых, предлагается использовать не обычный свет, а сильно поляризованный (поляризацией называется нарушение симметрии в плоскости сечения, перпендикулярной лучу света) луч лазера. Во-вторых, необходима специальная среда, в которой этот луч будет распространяться. Роль такой среды играет облако плазмы.

Полученные пути будут иметь причудливую запутанную форму, называемую в математике узлом. Замкнутые периодические траектории на торе, которые описывались выше – это тоже узлы. Существует целый раздел математики, занимающийся изучением этих объектов. Необходимо только понимать, что математический узел из обычного получается склеиванием концов, то есть узлы у математиков почти сплошь гордиевы: развязать невозможно, можно только разрубить.

Плазма и "узелковые" молнии

Сами ученые затрудняются определить возможность практического приложения своей теории. Они предполагают, что их расчеты могут найти применение при создании термоядерных реакторов. Дело в том, что во время работы этих объектов приходится управлять потоками плазмы при помощи магнитных полей. Конфигурация этих полей оказывается крайне сложной и меняется со временем. Благодаря новым результатам представляется возможным "завязать" потоки плазмы в устойчивые узлы, которые со временем меняться не будут.

Кроме этого, результаты американских физиков можно расценивать, как аргумент в пользу теории шаровых молний, созданной Фернандесом-Ранадой вместе со своим коллегой Хосе Труэбой (Jose Trueba).

В настоящее время не существует общепринятой теории относительно того, что такое шаровая молния. Единственное, к чему сходятся физики, - этот объект должен описываться в рамках существующих законов. Одним из главных вопросов является устойчивость шаровой молнии. Очевидцы (в лаборатории это явление до сих пор ни разу не было воспроизведено) утверждают, что молния двигается в течении нескольких минут. Фернандес-Ранада предположил, что шаровая молния – это узел плазмы (то есть молния на самом деле "узелковая", а не шаровая). Расчеты американских физиков показывают, что такое предположение о природе шаровой молнии является вполне обоснованным.