Что такое математика

Из книги И.Яглома
"Математические структуры и математическое моделирование"
(М.: Советское радио, 1980)

Хорошо известно, что весь массив наук делится на три большие группы: математические науки; естественные науки; гуманитарные науки, или, как говорил покойный академик Л.Д.Ландау, сверхъестественные науки; естественные науки; неестественные науки, и эту нехитрую шутку выдающегося физика мы еще прокомментируем ниже.

Естественные науки - физика, химия, астрономия, биология, медицина... - изучают окружающий нас мир; гуманитарные - история, литература, филология, юриспруденция, социология... - человеческое общество, также представляющее собой реальность, поддающуюся наблюдениям и даже эксперименту; математика же изучает самое себя. С этой, безусловно, самой основной точки зрения различие между математикой и "нематематикой" оказывается несравненно более глубоким, чем различие между естественными и гуманитарными дисциплинами. Более того, за последние десятилетия граница между естественными и "неестественными" науками постепенно стирается, так что про ту или иную область знания в настоящее время зачастую оказывается вовсе не просто сказать, относится ли она к кругу естественных или гуманитарных наук.

Что представляет собой сегодня, скажем, экономика? По происхождению и стоящим перед ней целям она, бесспорно, должна быть причислена к наукам гуманитарным; однако принятая здесь методика, да и сама постановка целого ряда "типичных вопросов" современной экономической науки таковы, что иногда представляется более естественным отнести эту науку к той же группе, что и физику и геологию. Напротив, психология ранее обычно рассматривалась как раздел медицины и, следовательно, как естественнонаучная дисциплина. Однако в наши дни в связи с развитием ряда новых ее областей вроде массовой психологии, социальной психологии, психолингвистики (пограничной между психологией и языкознанием) она вполне может фигурировать и в списке гуманитарных наук.

"Сращивание" естественных наук с гуманитарными стимулируется математизацией последних, использованием в них дедуктивных методов и математического моделирования, применением многих разделов математики - от элементарной алгебры до топологии. В самом деле, ранее гуманитарные науки математическим аппаратом и дедуктивными рассуждениями не пользовались, что в первую очередь и отличало их от астрономии или физики. Заметим, кстати, что разграничение математики и гуманитарных наук в предшествующую эпоху подчеркивалось еще и тем, что математика ("доказательная") всегда пренебрегала индуктивными или чисто описательными рассуждениями, так что, скажем, появление известной книги Дж.Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения" "истинные математики" вполне могли рассматривать как недопустимый акт, раскрывающий непосвященным "кухню" их работы, которая не должна быть доступна неспециалисту. (Я вспоминаю, с каким жаром покойный А.Я.Хинчин на своих университетских лекциях по математическому анализу убеждал студентов в том, что единственное требование к доказательству состоит в его формальной полноте; при этом математик имеет право начать рассуждение с какой-либо абсолютно немотивированной фразы типа "Рассмотрим следующую функцию..." - и на вопросы о том, откуда взялась эта функция, он отвечать не обязан.)

Ныне, однако, дело обстоит уже не так: сближение математики с гуманитарными дисциплинами привело к определенной "гуманизации" математики, к проникновению в нее подходов и точек зрения, характерных для наук гуманитарного цикла. Несколько заостряя реальную ситуацию, можно даже сказать, что для наших дней типичен не только математически мыслящий гуманитарий, но и гуманитарно мыслящий математик.

Различие между гуманитарными и естественными (или тем более математическими) науками ранее заходило столь далеко, что, например, во французском или английском языке даже сам термин "наука" не принято было прилагать к таким дисциплинам, как литературоведение или история. Именно этот момент - отсутствие в гуманитарных науках дедуктивных выводов, со времен Платона и Аристотеля считавшихся единственно доказательными или "научными", так же как и некоторую расплывчатость (по сравнению, скажем, с физикой или математикой) существующих здесь критериев истинности, и акцентировал Л.Д.Ландау, когда со свойственным "настоящему ученому" высокомерием характеризовал юриспруденцию или историю как "неестественные науки".

В настоящее же время ситуация здесь изменилась весьма радикально - и математическая лингвистика (и даже математическое искусствоведение или математическое литературоведение), математическая психология или математическое правоведение, а также иные "гуманитарно-математические гибриды" (не говоря уж о математической экономике!) заняли весьма большое место в научном багаже ученых-гуманитариев, в силу чего на филологических, юридических или экономических факультетах университетов зачастую читаются весьма обширные курсы математики, заметно превосходящие по объему курс "высшей математики", испокон веков читавшийся будущим инженерам. В связи с этими новыми тенденциями вполне можно рассчитывать, что в недалеком будущем французский термин science станет охватывать как математические и естественные, так и гуманитарные дисциплины. Возможно, что и Л.Д.Ландау, живи он сегодня, даже в шутку уже не стал бы называть соответствующие науки "естественными".

Естественные и гуманитарные науки изучают объективно существующую реальность - и единственным критерием истины, скажем, для физика является совпадение получаемых им результатов с наблюдаемыми, с прямым экспериментом; так, например, тот же Ландау на сделанный ему упрек в нестрогости доказательства однажды ответил так: "А вы можете указать доказательство, которое лучше моего будет совпадать с экспериментом?" Таким образом, физическое рассуждение является правильным, если полученный с его помощью результат совпадает с реально наблюдаемыми фактами, и неправильным, если этот результат противоречит эксперименту. Напротив, математика строится чисто умозрительно; она не имеет дела ни с какой "лабораторией", кроме человеческой головы. Критерием истинности математического рассуждения является лишь его логическая безукоризненность, выполнение на всех этапах рассуждения устанавливаемых самим математиком правил вывода, относящихся к вполне определенной ветви математической науки - математической логике. При этом на сегодняшний день мы имеем уже вовсе не один-единственный набор правил вывода, а много разных a priori возможных таких наборов. И вполне может случиться, что математическое рассуждение, которое признает правильным один ученый, другой таковым считать откажется, причем эти две диаметрально противоположные позиции вовсе не будут означать, что один из упомянутых ученых прав, а второй ошибается: нет, правы они оба, только исходят они из разных "правил игры", что и приводит к двум разным "математикам".

В старых школьных учебниках геометрии бытовала фраза: "Справедливость аксиом подтверждается многовековым опытом человечества". Этот тезис является отражением точки зрения Аристотеля; однако с точки зрения "чистого" математика (если только существуют совсем уж "чистые" математики!) он не имеет никакого смысла. В самом деле, как может "многовековой опыт человечества" (или какие угодно другие аргументы) подтвердить или опровергнуть тот факт, что слон на шахматной доске ходит исключительно по диагонали, - ведь этот факт представляет собой условное соглашение, входящее в определение слона как шахматной фигуры, и никакой проверке его истинность не подлежит. Как может многовековой опыт человечества подтвердить или опровергнуть то, что для каждых двух точек A и B плоскости существует (и притом единственная) прямая этой плоскости, проходящая как через A, так и через B? Ведь с точки зрения современной математики под плоскостью понимается просто множество элементов {A, B, C, ...}, обозначаемых большими латинскими буквами, и множество элементов {i, m, n, ...}, обозначаемых малыми латинскими буквами; первые из этих элементов мы назовем "точками", а вторые - "прямыми", но свободно могли бы выбрать для них и какие угодно иные наименования. (Давид Гильберт как-то заметил, что содержание евклидовой геометрии не претерпит никаких изменений, если мы заменим слова "точка", "прямая" и "плоскость", скажем, терминами "стул", "стол" и "пивная кружка" (из самой формы этого высказывания видно, что оно родилось в процессе обсуждения проблем математики за столиком геттингенской пивной). Впрочем, здесь Гильберта частично обогнал Жан Лерон Даламбер, указавший в своей прославленной "Энциклопедии" (в статье "Определение"): "Элементы геометрии можно сделать точными (но смешными), назвав треугольником то, что обычно называется кругом".)

Далее, про вводимые таким образом (без всякого определения!) "точки" и "прямые" известно, что они связаны между собой рядом отношений, первым и главнейшим из которых является отношение принадлежности. При этом от связывающих точки и прямые плоскости отношений требуется выполнение ряда "правил" или "условий", одним из которых как раз и является только что сформулированная аксиома, и с точки зрения математики вопрос о доказательстве (или даже всего лишь о достаточно надежной мотивации) истинности этого утверждения столь же бессодержателен, как и вопрос о "доказательстве" правил движения слона на шахматной доске.

Выше мы сказали, что понятия "точки" и "прямой" плоскости вводятся без всякого определения, и даже подчеркнули эту мысль как чрезвычайно важную восклицательным знаком в конце соответствующего утверждения. Однако теперь мы, пожалуй, возьмемся оспаривать наш собственный тезис. Имеет или не имеет определения понятие "шахматный слон"? Ответ на этот вопрос, по существу, был дан выше. Разумеется, для лица, не умеющего играть в шахматы, понятие это совершенно бессмысленно - ничем не лучше, чем для нас с вами понятие "тарарабумбия", пока этот странный, явно антинаучный термин никак нами не определен. Но для шахматиста понятие "слон" совершенно ясно: под шахматным слоном он понимает фигуру, в начальной позиции занимающую на шахматной доске положения c1 и f1 ("белые слоны") и c8 и f8 ("черные слоны"), причем в процессе игры эти фигуры могут перемещаться, а также исчезать с доски ("слон побит") или возникать на ней (пешка "прошла в слоны") в соответствии с вполне определенными правилами, полный набор которых может рассматриваться как косвенное определение соответствующего понятия. Другими словами, само по себе понятие "шахматный слон" следует считать бессодержательным, неопределенным; однако сочетание слов "игра в шахматы" имеет четко очерченный, хоть и достаточно сложный смысл, - и вот в рамках этого-то понятия находит место более частное понятие "шахматный слон".

Но точно так же обстоит дело и с понятиями (математических) точки и прямой! Для незнакомого с математикой (а точнее - с планиметрией) лица эти понятия, разумеется, совершенно бессодержательны. Однако уже школьник знает, что планиметрия в целом может быть описана как совокупность элементов двух родов: точек A, B, C, ... и прямых a, b, c, ..., в объединении составляющих то, что принято именовать "плоскостью"; при этом точки и прямые подчиняются определенным правилам, в своей совокупности образующим косвенное определение как всей планиметрии, так и ее "образующих элементов", то есть точек и прямых, а также связывающих эти элементы "основных отношений".

Таким образом, понятие (математической) точки само по себе вне рамок планиметрии никакому определению не подлежит: точка, как и пресловутый поручик Киже, "фигуры не имеет", так что не склонный задумываться над происхождением математических понятий "чистый" математик, пожалуй, сочтет, что знакомое каждому общежитейское понятие точки как мельчайшей ("неделимой") области физического пространства или как следа однократного касания бумаги карандашом или иным заостренным пишущим предметом имеет к понятию математической точки не больше отношения, чем индийский или африканский слон - к шахматному. Таким образом, наблюдаемое органами чувств и регистрируемое приборами физическое пространство не связано с абстрактно-математическим пространством, формально описываемым относящимся к нему набором аксиом. Более того, эти два "пространства" относятся даже к совсем разным кругам понятий - к области математических наук и к области естественных наук, или, используя терминологию Платона, - к "миру видимому" и к "миру умопостигаемому".

Однако подобное рассуждение оставляет у нас смутное чувство неудовлетворенности, сознание, что мы говорим что-то не совсем то... Вспомним глубокие знания по геометрии древних вавилонян или египтян - знания, включающие столь содержательные факты, как теорема Пифагора или формула для объема усеченной пирамиды. Но ведь математика-то возникла гораздо позже, чем составляли свои пособия вавилонские жрецы и египетские писцы, а именно всего лишь в 6-5 веках до нашей эры. Как же могла геометрия, составляющая раздел математики, появиться раньше математики? Не равносильно ли подобное предположение парадоксальной мысли, скажем, о том, что судак появился на Земле раньше, чем вообще возникли рыбы? Объяснить это кажущееся противоречие можно тем, что слово "геометрия", подобно, например, словам "точка" (математическая или физическая) или "слон" (шахматный), имеет два совершенно разных смысла. Но при этом если связь между понятиями шахматного и живого слона является, так сказать, чисто лингвистической, порожденной в какой-то мере случайным использованием одного слова для описания разных понятий, то соотношение между двумя смыслами слова "точка" или двумя смыслами слова "геометрия" является уже содержательным и для нашей темы настолько важным, что на этом необходимо остановиться подробнее.

Странный мир геометрии - все в нем предельно конкретно, наглядно, осязаемо, и в то же время призрачно, бестелесно, условно. Формула для объема цилиндра точно оценивает количество воды, которое можно налить в стакан или бидон, - но ведь на самом деле слова "цилиндр", "конус", "прямая", "плоскость" обозначают некие абстракции, нигде в жизни не встречающиеся и не реализуемые. Представление о плоскости может дать, скажем, хорошо отшлифованная металлическая пластина, - но не о плоскости, конечно, а лишь о небольшом ее участке, ибо всю (безграничную!) плоскость даже и пытаться представить себе нельзя, так как попытка "далеко" продолжить в воображении видимую поверхность пластины сразу же поставит перед нами немыслимо сложные вопросы о глобальном строении вселенной. Но и маленькую часть плоскости наша пластина представляет весьма приближенно - ведь если мы захотим отшлифовать ее до "полной" гладкости, то неизбежно придем в противоречие с атомным строением вещества, и это еще до того, как перед нами встанет вопрос о природе самих образующих пластину атомов, столь далеких от привычной нам геометрии, что уж на атомном-то уровне и речи быть не может ни о какой плоскости. Грубую модель прямой линии доставляет, например, край стола, а "точное" ее представление дает луч света, - и, скажем, Лобачевский или Гаусс в своих опытах по измерению суммы углов "физического" треугольника, стремясь к максимальной строгости и полноте, принимали за стороны треугольника направления, в которых из одной вершины треугольника видна другая его вершина. Но ведь с точки зрения современной физики свет имеет сложную корпускулярно-волновую природу, причем если даже и мыслить свет "по Ньютону" как поток элементарных частиц - фотонов, то все равно вопрос о траектории фотона оказывается некорректно поставленным, то есть попросту бессмысленным, так что о прямой здесь говорить не приходится никак. И при всем том практическая применимость геометрических формул и теорем, скажем, в деятельности конструктора оказывается столь полной, что в случае неудачи выполненной по его расчетам модели инженер усомнится в чем угодно, но только не в этих теоремах и формулах.

Таким образом, мы явно имеем две совсем разные "геометрии". "Геометрия-физика" является одной из естественнонаучных дисциплин и изучает специфические свойства реальных тел, в первую очередь, их размеры и форму, в то время как "геометрия-математика" относится к кругу математических наук и изучает определенные математические структуры, во всей ("идеальной") полноте в практической жизни не реализуемые (то есть не существующие). При этом возникла "геометрия-физика" раньше "геометрии-математики" (чем снимается всякая загадочность с факта появления геометрии до математики); однако с самого зарождения "геометрии-математики" развивались наши две геометрии в постоянной и неразрывной связи. К логической системе "геометрии-математики" ученые первоначально пришли путем идеализации свойств реальных тел, предельного упрощения наблюдаемых в окружающем мире явлений, сохранения лишь самых фундаментальных (то есть самых простых и глубоких) из относящихся к ним фактов; эти "главные" факты компактно записывались в виде списка аксиом, возникших в результате суммирования данных многократных экспериментов, производимых над поверхностями пластин и плит (эти поверхности получили общее наименование "плоскостей"), над лучами света и краями этих плит (называемых "прямыми") и так далее. С другой стороны, делаемые уже чисто логическим путем выводы о свойствах абстрактных объектов, рассматриваемых в "геометрии-математике", немедленно (и успешно) применялись к изучению свойств материальных тел, изучением которых занималась "геометрия-физика". Иногда, правда, возникало несоответствие между математическими выводами и физическими наблюдениями, как это произошло, скажем, при анализе результатов опытов Майкельсона по измерению скорости света; но такое несоответствие лишь приводило к необходимой модификации "математического пространства", к построению новых абстрактных схем, с большей полнотой, чем прежние, охватывающих феномены действительного.

Таким образом, взаимоотношения "геометрии-физики" и "геометрии-математики" имитируют общий процесс развития точного знания, неизбежно проходящий через этапы индуктивного накопления фактов ("геометрия-физика"); последующего их обобщения и построения на базе этих фактов дедуктивной теории ("геометрия-математика"), из которой в свою очередь делаются выводы, касающиеся реальной действительности; опытной проверки полученных выводов (снова "геометрия-физика"); перестройки и модификации теории в свете вновь полученных фактов (опять "геометрия-математика"), - и так без конца. Другими словами, "геометрия-математика" возникла как математическая модель физической вселенной, причем практическая ценность этой модели первоначально связывалась исключительно лишь с возможностью делать на ее базе выводы, касающиеся реального (физического) мира. После этого и "геометрию-физику" стало возможно рассматривать как физическую модель абстрактного (математического) пространства, описываемого в соответствии с общей схемой построения "выводных наук" Аристотеля, то есть списком основных (неопределяемых) объектов и отношений и набором аксиом, характеризующих эти объекты и отношения. Именно такой подход к геометрии обусловил единодушие, с которым творцы неевклидовой геометрии - К.Ф.Гаусс и Н.И.Лобачевский, не ведая в этот момент о близости сделанных ими открытий, бросились измерять сумму углов "физических" треугольников (вершинами которых служили три удаленные друг от друга точки земной поверхности у Гаусса и три небесных тела у Лобачевского). Разумеется, результат этих измерений не мог иметь никакого отношения к вопросу об истинности или ложности геометрии Лобачевского как математической теории, но он мог указать на наличие физической ее модели, полностью оправдывающей само существование этой теории, возможно даже делающей ее необходимой.

Двусторонняя связь наук математических (в данном случае - "геометрии-математики") с науками естественными ("геометрией-физикой") указывает то место, которое занимает математика в системе наук и в жизни людей. Когда-то знаменитый Гаусс сказал: "Математика - это царица наук"; однако теперь-то мы понимаем, что она занимает в мире иное, куда более почетное положение: она является служанкой всех (и естественных, и гуманитарных) наук, помогая им, доставляя им адекватный аппарат для описания всевозможных фактов и явлений. Более того, математика - это та служанка, без которой и госпожа-то не является госпожой, без которой науку и за науку признать невозможно, ибо "уровень научности" той или иной дисциплины можно измерить объемом применяемых в ней математических рассуждений, глубиной и содержательностью характерных для этой дисциплины дедуктивных выводов (вспомните наше замечание об употреблении во французском и английском языках слова science).

Сила математики в первую очередь заключается в том, что возникшие в ее рамках числовые системы и формальные схемы доставляют нам некоторый "универсальный ключ", годный для отпирания всех на свете замков: они равно приложимы к физике и биологии, технике и социологии, астрономии и лингвистике. Математическая модель реальной ситуации - это математическая структура, объекты которой трактуются как идеализированные реальные "вещи" (или понятия), а абстрактные отношения между этими объектами - как конкретные связи между элементами действительности; такая модель позволяет составить компактную и легко обозримую сводку известных нам свойств изучаемых понятий, дающую возможность исчерпывающе их анализировать и даже предсказывать результаты будущих наблюдений, а ведь именно оправдывающиеся впоследствии предсказания составляют основной предмет гордости каждой науки, определяют ее ценность. Эта универсальность математического знания дала основание выдающемуся физику Юджину Вигнеру с некоторым даже недоумением говорить о "непостижимой приложимости математики к естественным наукам"; ее же имел в виду и Ландау, когда он называл математические науки "сверхъестественными".

И.Яглом, Журнал "Квант", сентябрь 1992 года