Бесконечность бывает разная

Мать и Матика

Самое интересное в теории множеств то, что она рассматривает не только конечные множества (множества, содержащие конечное число элементов), но и бесконечные, для которых даже понятие количества элементов бессмысленно. То есть теория множеств может рассматривать не только множество студентов в группе и множество березок в лесу, но и множество точек на прямой, и множество звезд на небе.

Основоположник теории множеств Георг Кантор именно из-за бесконечности попортил себе много крови, да так крепко попортил, что пришлось подключаться врачам-психиатрам. Хотя с бесконечностью математики до него уже давным-давно работали. Взять, например, то же бесконечно большое множество точек на прямой или, наоборот, бесконечно малые величины из высшей математики.

Но вся беда в том, что ни один живой человек не видел, не слышал, не щупал бесконечности! Поэтому до Кантора математики признавали и использовали так называемую ПОТЕНЦИАЛЬНУЮ бесконечность. Самый кондовый пример - это понятие бесконечно большого числа в высшей математике. Бесконечно большое число - это число, которое больше любого наперед заданного. Если человек не понимает, о чем речь, то его просят назвать самое большое число в мире! Образованный человек обычно называет число миллиард миллиардов. А ему объясняют, что бесконечно большое число больше этого числа, "даже больше чем на еще миллиард миллиардов". То есть у нас с вами всегда в запасе есть число потенциально большее, чем придумает эрудит.

Кантор же позволил себе в математике АКТУАЛЬНУЮ бесконечность. То есть то, что до этого могли позволить себе лишь поэты ("звездам числа нет, бездне дна"), с которых, как известно, никто строго не спросит. Поэты не любят, чтобы по крохам, по каплям. Любят, чтоб сразу: "Вот она, ВСЯ бездна вашего падения! Дарю тебе ВСЕ звезды - такой ничтожной малости для тебя, моя бесценная единственная, не жалко!" То есть по Кантору бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции. Их даже можно сравнивать на больше-меньше.

Поэтому Кантор начал задавать себе "поэтические" вопросы и искать на них математические ответы. Один из ключевых вопросов: "БЕСКОНЕЧНО МНОГО - это всегда ОДИНАКОВО БЕСКОНЕЧНО МНОГО? Или могут быть большие и меньшие бесконечности?" Чего больше, звезд на небе или точек на прямой?

Кантор доказал великую теорему, из которой следует, что бесконечности могут быть разные по величине. Поскольку "число" и "количество" - слова в этом случае неуместные, то он ввел термин "мощность". Мощность - это то, что остается, когда нас не интересует сущность элементов множества и порядок, в котором они располагаются. То есть он определил понятие мощности строго, хотя определение и кажется на первый взгляд странным. Обычно на второй взгляд это так уже не кажется. От множества студентов останется только мощность, если мы перестанем их различать и будем воспринимать их вне всякого порядка (в естественных условиях).

Увы, приводить примеры множеств, имеющих бесконечную мощность, используя березки и студентов, не получится вообще, а звезды далеки и видны только ночью. Поэтому обратимся для наглядности к находящимся рядом с нами числам.

Пересчитывая что-то, мы используем целые (положительные) числа 1, 2, 3... Их еще называют "натуральными". Странные американцы любят начинать этот ряд с нуля (и заразили этим, например, всю вычислительную технику). Их не смущает, что "3-блок" на самом деле 4-ый по счету. Впрочем, нам сейчас все равно! При добавлении или удалении нуля ничего не меняется. Главное, мы знаем, что чисел нам хватит для пересчета чего угодно. Мы также знаем, что это множество бесконечное. Кантор назвал это множество СЧЕТНЫМ и его мощность - мощностью счетного множества. Мощность этого множества Кантор взял за эталон и стал сравнивать ее с мощностями других множеств.

Во-первых, он установил, что эта мощность больше мощности любого конечного множества (студентов, березок и тому подобного). Во-вторых, и это любопытно, он доказал, что многие бесконечные множества имеют ту же мощность (то же "количество" элементов), что и счетное. Один из самых поразительных примеров - что множество целых положительных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество целых четных положительных чисел! То есть они равномощны! Действительно, запишем друг под другом:

1 2 3 4 ...
2 4 6 8 ...

Ясно, что обе последовательности имеют одинаковое количество элементов, поскольку любому числу первой ВСЕГДА соответствует строго одно число второй последовательности. Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. И наоборот! Следовательно, эти множества равномощны! Следовательно, здесь ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ!

Поскольку это доказано строго, то на последний спасительный аргумент "так в жизни не бывает" можно еще раз, но уже более сурово ответить: "Вы просто жизни не видели! Точнее, вы никогда не видели в жизни бесконечность! И не увидите!" За свою непростую долгую жизнь человек может столкнуться даже с паровозом, а с бесконечностью - никогда! Даже в темноте. Поэтому что может быть и чего не может быть в мире бесконечностей не нам судить, основываясь лишь на житейском опыте!

Из бесконечного множества звезд (мощность которого тоже исчислима) мы видим лишь их ограниченное конечное множество. На нарисованном отрезке прямой, содержащем бесконечное множество точек, мы видим конечное множество зерен грифеля, которым отрезок нарисован. Кстати, мы видим все это и многое другое сетчаткой глаза, содержащей конечное число палочек-колбочек. Конечным числом палочек-колбочек своего глаза никогда ничего бесконечного вы не увидите! Так что бесконечности вокруг нас существуют в "параллельном мире" по своим законам, которые теория множеств помогает изучать.

Мы уже сказали "во-вторых", но есть еще и "в-третьих" - оно самое главное: великая теорема Кантора, которая уже упоминалась. Дело в том, что если построить множество всех подмножеств конкретного множества, то всегда получите множество БОЛЬШЕ исходного. Например, возьмем множество из 2-х элементов: РАЗ, ДВА. Подмножествами этого множества будут 4 множества:

1) РАЗ, ДВА - (любое множество есть подмножество самого себя)
2) РАЗ
3) ДВА
4) пустое множество

Другой пример: А И Б (сидели на трубе). Подмножествами этого множества из трех элементов будет 8 множеств:

1) А, И, Б
2) А, И
3) А, Б
4) И, Б
5) А
6) И
7) Б
8) пустое

Из четырех элементов получилось бы 16 элементов. И этот ряд можно бесконечно продолжить, как ряд степеней числа 2. Так вот Кантор и доказал, что если взять бесконечное множество счетной мощности, например множество целых положительных чисел, и построить (разумеется, умозрительно) множество, содержащее в качестве элементов все подмножества этого множества, то получим мощность БОЛЬШУЮ, чем счетная мощность. В принципе не существует способа пересчитать (пусть в бесконечности) такое множество. В нем всегда больше элементов. Эта новая большая мощность называется мощностью КОНТИНУУМА.

И снова житейский парадокс. Мощность континуума имеет, например, множество точек прямой или множество действительных чисел, что то же самое. Более того, любой отрезок числовой оси, даже такой малюсенький отрезок как от 0 до 1, имеет мощность континуума, то есть на нем больше чисел, чем найдется чисел в счетном множестве. А раз этот отрезок имеет мощность континуума, как и вся (бесконечная) прямая и, естественно, любой ее отрезок, то можно сказать, что на отрезке от 0 до 1 ровно столько же точек, сколько на отрезке прямой от Земли до Юпитера.

Здесь тоже часть равна целому, если и часть и целое имеют мощность континуума. И все они одинаково больше числа звезд на небе или числа всевозможных алгоритмов.

Для бесконечностей существует очень простая арифметика, которая логически следует из предыдущих разговоров. Сложение двух счетных мощностей дает счетную мощность, а для континуумов - мощность континуума. При вычитании из мощности континуума счетной - в остатке мощность континуума. Но вот если вычитать из континуума континуум или из счетной мощности счетную - всякое может получиться в каждом конкретном случае. Тут запросто можно напрячься и придумать свои иллюстрации.

А.Е.Соловьев, soloviev.nevod.ru, 2001 год