Множества

Мать и Матика

Что такое "множество" - ясно из самого слова без всякого определения. Тем более что дать этому фундаментальному математическому понятию определение невозможно. И не пробуйте. Лучше потратить свою энергию на вечный двигатель или на что-то другое конкретное.

Множеством может быть множество деревьев в лесу, множество студентов в университете или даже множество бедных родственников в Америке, которые могут выслать вам приглашение. Есть, конечно, специальная очень серьезная игра под названием "АКСИОМАТИЧЕСКАЯ теория множеств". Понять ее правила дано немногим, а найти практическое применение никому. Но это развлечение для очень замкнутого круга любителей, коль скоро и сама эта теория очень замкнута.

Множество состоит из элементов - деревьев, студентов, бедных родственников. При этом никакой роли не играет, рассматриваем ли мы тех же студентов в порядке алфавита или по успеваемости. Недопустимы только двойники или студенты, у которых отсутствуют отличительные свойства. Будьте хоть китайскими студентами, но должны друг от друга отличаться. Могут даже быть множества, состоящие из чисел. Но мы, как договорились, от математики вообще и от чисел в частности шарахаемся, как черт от ладана. Поэтому можно и без них. Или можно с ними. Или будем использовать только те числа, которые хорошо знакомы с детства.

Однако мы не будем считать множеством "множество мыслей в голове". И не из-за их количества, а из-за того, что эти мысли-элементы невозможно четко разделить в общей каше, разложить по полочкам и разметить. Множество мыслей, разложенных по полочкам, в голове просто не поместятся из-за устаревшего устройства типовой головы.

Кстати, поскольку "множество" (set) в русском языке как бы намекает на "много", а понятие "много" (many) у каждого из нас свое, то во избежание спора между русскоязычными мы будем слово "множество" использовать для любого количества элементов, как и англоязычный Запад. Даже для одного элемента. Даже в случаях, когда во множестве нет ни одного элемента - такое множество называется пустым! Это, в частности, позволит рассказывать своим друзьям корректный с точки зрения теории множеств анекдот про "множество нуждающихся ветеранов Куликовской битвы".

Кроме понятия множества есть еще лишь одно исходное базовое понятие - и все. Остальное в этой теории производно. Так вот второе базовое понятие - это ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ (или "отношение принадлежности"). То есть "элемент принадлежит множеству". Тут тем более нечего определять, имея в виду что слово "принадлежит" в обыденной речи можно заменять, с учетом контекста, многими синонимами вроде: та березка находится в этом лесу, Сидоров числится в студентах, Мистер Х входит в число ваших бедных американских родственников.

Примечание. Чтобы избежать синонимов, которые могут нас запутать, можно было бы ввести специальный маленький значок, напоминающий греческую букву ипсилон. Но мы этого делать не будем, поскольку от этого значка до формул уже рукой подать.

Важное предостережение. Вопросы вроде: "Принадлежит ли студент Сидоров множеству лысеющих людей?" уводят нас в сторону от теории множеств и мы такие вопросы будем просто игнорировать, справедливо считая, что классическая теория множеств лысеющими просто не занимается, коль скоро нет объективных оценок лысости. А значит вопрос принадлежности-непринадлежности можно утрясти неформально, например за вознаграждение. Выход здесь очень простой. Сначала определиться четко с лысиной где-то в другом официальном месте, а потом привлекать теорию множеств.

То есть предполагается, что мы всегда четко знаем, что принадлежит данному множеству, а что нет. Остальное считаем несуществующим вообще!

Далее, если мы хотим сказать, что все березки, находящиеся в данном лесу, принадлежат и всему лесному богатству нашей страны, а все студенты, которые числятся в университете, числятся и студентами России, то для сокращения фраз используются термины ПОДМНОЖЕСТВО или ВКЛЮЧЕНО.

Здесь тоже могут быть очевидные синонимы. Но чтобы в них не запутаться и попросту не перепутать с "принадлежит", нужно помнить одну простую вещь: "принадлежит" относится к случаю, когда "ЭЛЕМЕНТ принадлежит МНОЖЕСТВУ", а "включено" - когда "МНОЖЕСТВО включено в МНОЖЕСТВО". Потому-то второй вариант для обозначения "включено" - "подмножество" - то есть какая-то часть множества.

Множество студентов университета "включено" во множество студентов страны. То есть множество студентов университета "есть подмножество" множества студентов страны. Тем, кто не сломал при этом язык, ясно, что множество студентов страны "включено" во всемирное множество студентов. Можно продолжить эту цепочку включений, прихватив галактику. Но тогда следует, что множество студентов университета есть подмножество множества студентов галактики.

Это свойство цепочек просто и строго доказывается прямо на основании того, как мы определили отношение включения. У отношения включения есть ряд любопытных свойств, не нами придуманных. Они могут быть обнаружены любым исследователем, если он "поиграет" с этим отношением.

Например, можно сказать, что множество студентов группы УХ-001 включено во множество студентов университета, поскольку такая группа в университете числится. То, что из группы отчислены все студенты, для математики никакой роли не играет. Поскольку НЕТ ни одного студента, числящегося в этой группе, который бы не числился в университете. Такого рода рассуждения совершенно корректно можно применить к любым пустым множества и сделать обобщающий вывод, что пустое множество включено в любое множество, в том числе и в себя.

Оцените математическую красоту фразы: "Любой элемент, принадлежащий множеству, не содержащему ни одного элемента, принадлежит и любому другому множеству, которое не содержит ни одного элемента". Чуть менее красива фраза: "Любое множество является собственным подмножеством". Или то же самое, но более жестоко: "Любое множество включено само в себя".

Действительно, группа УХ-002 (в которой, вполне возможно, есть студенты) включена в группу УХ-002, поскольку все студенты, которые в ней числятся, по-прежнему числятся в ней, даже если ее название УХ-002 упоминается несколько раз.

Из последнего примера можно сделать важный вывод. Если два множества (возможно на первый взгляд различные, вроде множества чиновников и множества слуг народа) включены друг в друга, то эти множества равны, то есть состоят из одних и тех же элементов. Можно сказать чуть иначе: если два множества являются подмножествами друг друга, то они состоят из одних и тех же элементов.

Правда, есть математики-диссиденты, которые это не признают. Но это скорее уже вопрос веры, другой математической конфессии.

А теперь следует признать, что математики сродни той категории больных людей, которых называют "правдоискателями". Как правило, искатели социальной правды правы. Но их правота или бессмысленна, или нереальна, а главное, никому кроме них не нужна. Так вот и в теории множеств часто можно найти правду, которая для посторонних людей может выглядеть, мягко выражаясь, странной и вредной.

Например, студент Федоров не может быть подмножеством студентов университета, поскольку он сам не множество, а элемент. Поэтому он как элемент может быть лишь элементом множества студентов университета. А вот группа УХ-003 как множество студентов есть полноправное подмножество множества студентов университета. Но группа УХ-003 состоит всего лишь из одного студента. Того самого Федорова! Вот и получается, что сам Федоров не может быть подмножеством, но группа, состоящая из него одного, может.

С другой стороны, если вдруг ректор решит рассматривать университет как множество студенческих групп, то группа УХ-003 станет элементом множества студенческих групп университета. Тут ничего страшного, если понимать, что множество студентов университета и множество студенческих групп университета - два разных множества.

Впрочем, нас бюрократическими закорючками не удивишь, мы и не такое в жизни видим каждый день. Но все-таки теории множеств есть чем удивить даже нас. Это так называемые парадоксы теории множеств - одно из потрясений первого года прошлого столетия для узкого круга людей. Поясним на знаменитом примере про брадобрея.

Правитель повелел единственному брадобрею в своем царстве-государстве брить всех тех и только тех, кто не бреется сам. А наказание за ослушание - казнь. Вот брадобрей и бросился брить всех небритых. В конце концов дошло до того, что он сам зарос бородой. Он взял бритву. Но если он начнет бриться, значит он бреется сам, а таких он брить не имеет права. Отложив бритву, он понял, что он сам не бреется. Значит он должен взять бритву и ... И что?! А ничего хорошего! Казнят бедолагу за нарушение приказа в любом случае!

С точки зрения теории множеств брадобрей в данном случае не смог определиться с фундаментальным отношением принадлежности: включать или не включать себя самого во множество тех, кто не бреется сам.

То есть в основе теории множеств, которая претендует на роль фундамента ВСЕЙ математики, начальное базовое отношение принадлежности выкидывает такие фортеля, которые просто не позволяют создать некоторые из множеств! Математики приняли единственно разумное решение: договорились не создавать в рамках теории множеств такие множества, которые нельзя создать! То есть теория множеств оперирует со всеми множествами, кроме тех, которые нельзя создать. Все эти множества, объединенные в одно множество, называются УНИВЕРСУМОМ.

А.Е.Соловьев, soloviev.nevod.ru, 2001 год