🔧

Failed to load site

We apologize for the temporary inconvenience. Please try to reload the page.
You can always check the current server status in the Telegram community chat.

Reload page

503

Задача: доказать, что хроматическое число 3-мерного пространства равно бесконечности

Шпаргалки для юных математиков

Пусть имеется следующая теорема: для трехмерного евклидова пространства существует схема расположения в нем соприкасающихся поверхностью объектов ненулевого объема, при которой потребуется бесконечно много цветов для такого отличительного окрашивания, чтобы никакие два соприкасающиеся объекта не были окрашены одинаковым цветом. Или то же утверждение в иной форме: хроматическое число трехмерного пространства равно бесконечности.

Вот такую чисто теоретическую задачу мне потребовалось решить, мое доказательство состоит из нижеследующих геометрических соображений, где в пунктах 1-3 изложено подготовительное построение, в последнем пункте дается логический вывод.

1) Произвольно выделим в пространстве плоскость и для удобства построений свяжем с ней двумерную систему координат XY. Пусть также существует Г-образного вида стержень, перпендикулярные друг другу части которого (условно назовем их "рукава") для простоты считаем бесконечно длинными. Пусть в нашем распоряжении имеется сколь угодно много таких Г-образных объектов.

2) Располагаем первый Г-образный объект поверх выделенной в пространстве плоскости так, чтобы угол объекта оказался в какой-нибудь произвольной координате x₀, y₀ и чтобы один его рукав был ориентирован вдоль оси y и, соответственно, другой рукав - вдоль оси x. Аналогично располагаем второй Г-образный объект поверх первого объекта, только смещаем второй объект по координатной сетке на некоторое расстояние Δx и Δy, то есть чтобы его угол оказался в координате x₀+Δx, y₀+Δy. Поверх этих объектов аналогично располагаем третий Г-образный объект в координате x₀+2Δx, y₀+2Δy. Над ними - четвертый объект в координате x₀+3Δx, y₀+3Δy. И так далее до бесконечности. То есть всякий указанный i-тый объект расположен над выделенной плоскостью в ее координате x₀+(i-1)Δx, y₀+(i-1)Δy.

3) Теперь "придавливаем" всю конструкцию к выделенной плоскости, чтобы деформация рукавов Г-образных объектов состояла только в огибании препятствий в лице пролегающих под ними рукавов других Г-образных объектов. В итоге конструкция примет подобный вид "плетения", как изображено на прилагаемом рисунке (на нем продемонстрировано только 7 объектов после "придавливания").

4) Сколько бы бесконечно много Г-образных объектов ни использовалось в указанной схеме расположения их в трехмерном пространстве, для всякого объекта окажется справедливым утверждение, что он одновременно соприкасается с остальными объектами, и следовательно его цвет при выполнении задания отличительного окрашивания должен быть не таким, как цвет остальных объектов. Утверждение можно сформулировать иначе: цвет i-того по счету объекта отличается от цветов, использованных для окраски объектов от первого по счету до i-1 включительно. Но тогда в силу этого утверждения, если начать окрашивание с первого объекта, обозначив номер текущего окрашиваемого объекта индексом i, на каждом следующем i-том шаге придется использовать i-тый по счету цвет. А значит хроматическое число здесь будет равно тому количеству объектов, которое было расположено в пространстве.

Вывод: поскольку наглядно продемонстрирована одна из возможных схем расположения в трехмерном евклидовом пространстве бесконечного множества неких объемных предметов (возможны и другие варианты объектов, не только Г-образные), каждый соприкасающихся одновременно с остальными объектами, то хроматическое число трехмерного пространства действительно равно бесконечности. Отсюда также следует, что хроматические числа пространств большей размерности не могут быть равными конечному числу, потому что всякое n-мерное пространство при n>3 уже включает в себя координатные плоскости системы координат трехмерного пространства.

Дмитрий Сахань, 18 марта 2007 года