Знакомимся с биномом Ньютона

Шпаргалки для юных математиков

Слово "бином" происходит от латинской приставки bi... (переводится как дву(х)...) и латинского nomen - имя. В буквальном переводе имеем двухименный. В математике прижился синоним бинома - двучлен, то есть некое выражение, составленное из двух поименованных переменных или же двух одночленов. Например, a+b, 6z-xy и тому подобное.

А вот биномом Ньютона принято называть формулу выражения степени двучлена в виде суммы одночленов: (a±b)ⁿ=C₀aⁿ(±b)⁰+C₁a^n-1(±b)¹+C₂a^n-2(±b)²+...+C_n-1a¹(±b)^n-1+C_na⁰(±b)ⁿ, где символами C_x обозначены так называемые биномиальные коэффициенты, о которых поговорим позже. Примерно запомнить правую часть формулы можно благодаря такой несовершенной фразе (в ней не упоминаются биноминальные коэффициенты): это сумма всех перемножений обоих членов, где степень первого члена уменьшается с каждым перемножением от исходного показателя до нуля, в то же время степень второго члена с каждым разом увеличивается от нуля до исходного показателя. Заметьте сами, в правой части формулы степень члена a слева направо уменьшалась на единицу до нуля, степень члена b возрастала в обратном порядке. Далее: поскольку в нулевой степени всякое число равно единице, а также поскольку коэффициент C₀=C_n=1 (почему так - покажем позже), а также поскольку (±b)^x=b^x для всякого четного показателя x, а также поскольку a¹=a и b¹=b, то указанную формулу обычно записывают чуть проще, без очевидно сокращаемого: (a±b)ⁿ=aⁿ±C₁a^n-1b+C₂a^n-2b²±...bⁿ (знаки + и ± чередуются).

Вообще же именуемое биномом Ньютона на самом деле является полиномом (от греческого polys - множественный и соответственно латинского nomen), или синонимичное ему - многочленом, поскольку степени двучлена по этой ньютоновой формуле раскладываются в сумму не менее чем трех одночленов. Например, (a±b)²=a²±2ab+b². Вы и сами могли понять это из рассмотренной выше формулы.

Впрочем, следует безотлагательно сообщить, что упоминавшаяся формула была открыта задолго до Ньютона. Еще древние греки умели раскладывать в многочлен выражение (a+b)ⁿ для случая n=2. В начале второго тысячелетия нашей эры среднеазиатские математики Омар Хайям и аль-Каши (его полное имя Каши Джемшид ибн Масуд) уже владели обобщенной формулой на случай любого целого n. Ньютон же, спустя 2 сотни лет после работ аль-Каши, распространил известную формулу на отрицательные и дробные показатели. С того момента история с обобщениями на прочие категории показателей (рациональные, комплексные) и сопутствующими доказательствами еще долго продолжалась, и приложили к ней свои усилия очень видные математики, но в конце концов за формулой закрепилось именно название бинома Ньютона.

О способах выражения

Кому-нибудь традиционное выражение степени двучлена может показаться неудобным для использования или восприятия. Во всяком случае приходится либо запоминать биномиальные коэффициенты, что не всегда удобно, а то и вовсе бесполезно для больших степеней, либо высчитывать коэффициенты по соответствующей формуле (ее приведем ниже). Но существует предостаточно способов выразить степень двучлена иначе, в некоторых случаях с помощью хорошо запоминаемых биномиальных коэффициентов малых степеней, а в некоторых случаях даже вообще без коэффициентов. Демонстрацию сего начнем с совсем уж тривиальных преобразований, и в качестве рабочего материала воспользуемся, ну например, пятой степенью двучлена.

(a±b)⁵=(a±b)(a±b)⁴=a(a±b)⁴±b(a±b)⁴
(a±b)⁵=(a±b)²(a±b)³=a²(a±b)³±2ab(a±b)³+b²(a±b)³
(a±b)⁵=(a±b)³(a±b)²=a³(a±b)²±3a²b(a±b)²+3ab²(a±b)²±b³(a±b)²
(a±b)⁵=(a±b)⁴(a±b)=a⁴(a±b)±4a³b(a±b)+6a²b²(a±b)±4ab³(a±b)+b⁴(a±b)

Будем полагать, суть подобных преобразований вам ясна. Степень двучлена представляется произведением двух таких же двучленов меньших степеней. Потом степень одного из двучленов раскладывается традиционным образом, то есть по формуле бинома Ньютона. В свою очередь степени отдельных или же всех финальных двучленов, оставшихся в скобах, могут быть снова разложены указанным способом или же при необходимости традиционным образом.

Однако существуют и экзотические разложения, которые становятся очевидными только при следовании определенной линии размышлений и которые имеют довольно интересное строение. Давайте внимательно пройдем по этой линии шаг за шагом на примере, скажем, все той же пятой степени двучлена. Сначала разложим ее традиционным образом:

(a±b)⁵=a⁵±5a⁴b+10a³b²±10a²b³+5ab⁴±b⁵

Теперь в правой части вынесем b за скобки:

(a±b)⁵=a⁵±b(5a⁴±10a³b+10a²b²±5ab³+b⁴)

Оставшийся многочлен в скобках очень похож, включая чередование знаков + и ±, на разложение четвертой степени двучлена, только он как бы с завышенными биноминальными коэффициентами. Если вычесть из этого многочлена четвертую степень того же двучлена, останется какой-то целый остаток. Следовательно, можно записать данный многочлен как сумму четвертой степени двучлена и соответствующего остатка:

(a±b)⁵=a⁵±b((a±b)⁴+4a⁴±6a³b+4a²b²±ab³)

Вынесем теперь a за скобки в том остатке, который суммировался с четвертой степенью двучлена:

(a±b)⁵=a⁵±b((a±b)⁴+a(4a³±6a²b+4ab²±b³))

Опять видим, что многочлен в последних скобках похож на разложение степени, а именно третьей степени того же двучлена, и опять же со всеми завышенными биноминальными коэффициентами. Потому и здесь перезапишем многочлен как сумму третьей степени двучлена и соответствующего остатка:

(a±b)⁵=a⁵±b((a±b)⁴+a((a±b)³+3a³±3a²b+ab²))

В новом остатке снова выносим a за скобки:

(a±b)⁵=a⁵±b((a±b)⁴+a((a±b)³+a(3a²±3ab+b²)))

И снова видим, что многочлен в последних скобках можно перезаписать как сумму второй степени двучлена и соответствующего остатка:

(a±b)⁵=a⁵±b((a±b)⁴+a((a±b)³+a((a±b)²+2a²±ab)))

Выносим в новом остатке a за скобки:

(a±b)⁵=a⁵±b((a±b)⁴+a((a±b)³+a((a±b)²+a(2a±b))))

Содержимое последних скобок перезаписываем как сумму первой степени исходного двучлена и a:

(a±b)⁵=a⁵±b((a±b)⁴+a((a±b)³+a((a±b)²+a((a±b)¹+a))))

Теперь внесем все a внутрь скобок и избавимся от этих скобок (то есть раскроем скобки, кроме внешней и степеней многочлена):

(a±b)⁵=a⁵±b((a±b)⁴+a(a±b)³+a²(a±b)²+a³(a±b)¹+a⁴)

Не правда ли, уже непривычное представление степени многочлена. Однако и это не все. Внесем b внутрь внешних скобок с избавлением от них. Затем перенесем первый член к последнему и вынесем за скобки их общий множитель:

(a±b)⁵=±b(a±b)⁴±ba(a±b)³±ba²(a±b)²±ba³(a±b)+a⁴(a±b)

Вы видите, как выразилась степень двучлена: суммой всех перемножений членов a и (a±b), где степень одного члена увеличивается с каждым перемножением от нуля до показателя, на единицу меньшего от исходного, степень другого члена уменьшается в обратном порядке. Примечательно отсутствие биномиальных коэффициентов, их замещают единый множитель b у всех членов, кроме последнего, и множитель (a±b) у последнего члена. То есть, если вообще рассмотреть все множество положительных степеней, обобщенная формула такого выражения степени двучлена для всякого натурального показателя n имеет следующий вид:

(a±b)ⁿ=±ba⁰(a±b)^n-1±ba¹(a±b)^n-2±ba²(a±b)^n-3±...±ba^n-2(a±b)¹+(a±b)a^n-1(a±b)⁰

В записанной сейчас формуле у последнего члена множитель (a±b) специально повторен дважды, чтобы лишний раз указать читателю на принадлежность одного из дублирующихся множителей к коэффициенту.

Ну и далее тоже продемонстрируем некоторые варианты подобных выражений степени двучлена на примере выбранной ранее пятой степени. Суть преобразований здесь будет заключена в факте, что, выбрав в полученном по указанной выше формуле многочлене любой член, начиная со второго, вся правая часть от точки выбора всегда являет собой произведение a в его степени в точке выбора и двучлена a±b, возведенного в такую же степень, как у двучлена левее точки выбора.

(a±b)⁵=±b(a±b)⁴±ba(a±b)³±ba²(a±b)²±ba³(a±b)+a⁴(a±b)
(a±b)⁵=±b(a±b)⁴±ba(a±b)³±ba²(a±b)²+a³(a±b)²
(a±b)⁵=±b(a±b)⁴±ba(a±b)³+a²(a±b)³
(a±b)⁵=±b(a±b)⁴+a(a±b)⁴

О биномиальных коэффициентах

К месту окажется следующий вопрос: зачем все это нужно, кому требуются разные варианты раскладок одного выражения? Во-первых, нередко возникают задачи определения каких-либо особенностей предоставленного выражения, скажем его делимости. Во-вторых, изучение раскладок позволяет иногда сделать существенные заключения. Хорошим образчиком последнего является теорема Пьера Ферма о целочисленной делимости двучлена k^p-k на p, если k - натуральное число и p - простое число. Эта теорема называется Малой теоремой Ферма, или иногда теоремой о простых числах. Стартовым толчком к данному утверждению скорее всего послужило изучение строения многочлена, а конкретнее особенностей его биноминальных коэффициентов, полученного разложением в бином Ньютона.

Биноминальные коэффициенты C_x выражения (a±b)ⁿ=C₀aⁿ±C₁a^n-1b+C₂a^n-2b²±...C_nbⁿ рассчитываются по формуле, известной из раздела комбинаторика элементарной алгебры (комбинаторику еще называют теорией соединений, в ней изучаются некоторые операции над конечными множествами): C_x=n!/(x!(n-x)!), где x - индекс биномиального коэффициента (его порядковый номер от левого края многочлена минус единица), n - степень двучлена. Отсюда становится ясно, почему для любой степени коэффициент C₀=C_n=1 (о чем уже упоминалось выше), ведь C₀=n!/(0!(n-0)!)=n!/n!=1 (напомним: факториал нуля равен единице) и C_n=n!/(n!(n-n)!)=n!/n!=1.

Что же представляют собой биномиальные коэффициенты C_x? Все они - количество отличимых (по расстановке элементов) комбинаций, которые можно составить из набора в n элементов, используя в каждой комбинации, наряду с само собой разумеющимся существованием хотя бы одного элемента, еще x чем-то отличающихся от того элементов. Для понимания последнего рассмотрим перемножение следующих трех одинаковых двучленов: (a+b)(a+b)(a+b), которое в принципе можно было записать как (a+b)³, но для наглядности мы сейчас обозначим жирным, подчеркнутым и обычным текстом отдельные исходные двучлены: (a+b)(a+b)(a+b). Перемножим первые два двучлена: (aa+ab+ba+bb)(a+b). Домножим на третий двучлен: aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb.

Обнаруживается следующее. В каждом члене (комбинации) финального многочлена оказывается по n=3 элемента. Первый член показывает, что можно составить только C₀=3!/(0!(3-0)!)=1 отличимых комбинаций из одинаковых элементов (здесь x=0, так как не используется никаких других отличающихся от a элементов). Иначе говоря, комбинации aaa, aaa и aaa неразличимы, как бы мы ни переставляли элементы в этих соединениях. Те же мысли верны и для последнего члена финального многочлена, то есть C₀=C_n. Таким образом, чуть перезапишем многочлен: C₀a³+aab+aba+abb+baa+bab+bba+C_nb³.

Члены 2, 3 и 4 показывают, что из элементов a, a и b (здесь x=1, так как, кроме a, еще используется лишь один отличающийся от него элемент) можно составить всего C₁=3!/(1!(3-1)!)=3 отличимых по расстановке элементов комбинаций: aab, aba и baa. Таким образом, еще чуть перезапишем многочлен: C₀a³+C₁a²b+abb+bab+bba+C_nb³.

В отношении членов, ставшими теперь 3, 4 и 5, можно было повторить последнее рассуждение, что одновременно свидетельствовало бы о зеркальном отражении биномиальных коэффициентов левой половины многочлена на правую (то есть выражение степени двучлена можно с полной справедливостью записывать и так (где индексы коэффициентов возрастают с обеих сторон многочлена к его центру): (a+b)ⁿ=C₀aⁿ+C₁a^n-1b+C₂a^n-2b²+...+C₂a²b^n-2+C₁ab^n-1+C₀bⁿ). Однако мы продолжим прежний ход мысли, чтобы проиллюстрировать сохранение правильности и в этом случае.

Итак, члены 3, 4 и 5 показывают, что из элементов a, b и b (здесь уже x=2, так как, кроме a, еще используются 2 отличающихся от него элемента) можно составить всего C₂=3!/(2!(3-2)!)=3 отличимых по расстановке элементов комбинаций: abb, bab и bba. Таким образом, окончательно перезапишем многочлен: C₀a³+C₁a²b+C₂ab²+C_nb³. Вот почему (a+b)³=1a³+3a²b+3ab²+1b³.

О свойствах коэффициентов и треугольнике Паскаля

Биномиальные коэффициенты обладают рядом интересных свойств (здесь говорим о коэффициентах как о числах без знака): 1) коэффициенты крайних членов всегда равны единице; 2) коэффициенты членов, одинаково удаленных от концов разложения, равны между собой (принцип зеркального отражения левой половины на правую), то есть C₀=C_n, C₁=C_n-1, C₂=C_n-2, C₃=C_n-3 и так далее; 3) второй и предпоследний коэффициенты всегда равны степени исходного двучлена, то есть C₁=C_n-1=n; 4) сумма коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то есть C₀+C₂+C₄+...=C₁+C₃+C₅+...; 5) сумма всех коэффициентов равна двойке в степени исходного двучлена, то есть C₀+C₁+C₂+...+C_n=2ⁿ; 6) сумма всех коэффициентов, кроме крайних, делится нацело на степень исходного двучлена, если та является простым числом, то есть (C₁+C₂+C₃+...+C_n-1)/n=m. Имеются и несколько других свойств, относящихся собственно к свойствам разложения по формуле бинома Ньютона, поэтому перечислять их уже не станем.

Свойство под номером 6, кстати, логически следует из упоминавшейся выше теоремы Пьера Ферма о простых числах, которая является фундаментальным фактом в теории делимости натуральных чисел. Сам Пьер Ферма оценил свою находку такой эмоцией: "Меня озарило ярким светом". Очевидно, рассматривая ряды биномиальных коэффициентов, поставленные в форме так называемого треугольника Паскаля, он заметил бесспорную делимость строчек с простыми показателями степени p на эту степень с получением остатка от деления, равного 2/p. Соответственно, несложно было догадаться, что если m=1+1, то для всякого простого p имеем m^p=(1+1)^p=C₀+C₁+C₂+...+C_p=1+px₁+px₂+px₃+...+px_p-1+1=2^p, следовательно 2^p/p=x₁+x₂+x₃+...+x_p-1+2/p, а значит m/p=2/p, и тогда (m^p-m)/p=x₁+x₂+x₃+...+x_p-1, то есть делится нацело на p. А далее обобщить: поскольку k=mx, следовательно выражение k^p-k делится на простое p при любом натуральном k.

Дмитрий Сахань, 31 августа 2006 года