Атом. Принцип Паули

Драма идей в познании природы

Какова же вероятность нахождения электрона в данном месте? Как она меняется со временем? На эти вопросы отвечало основное уравнение квантовой механики - уравнение Шредингера. Решив это уравнение, можно было получить ответы на многие вопросы, связанные с загадочным поведением электрона.

Квантовая механика дает уравнение для комплексной волновой функции y(r,t). Квадрат модуля этой комплексной величины, то есть величина y(r,t)·y(r,t)=P(r,t)>0 определяет вероятность нахождения электрона в данной точке пространства в данный момент времени. В частности, известно, что если электрон или любая другая система микрочастиц находится в стационарном состоянии с определенной энергией E, то y(r,t)= y(r)e^-lEt/h есть решение уравнения Шредингера. Из уравнения Шредингера можно определить энергию таких состояний. Например, энергию электрона, связанного в атоме. Оказалось, что при E<0 такие решения существуют лишь при определенных выделенных значениях E₀, E₁, E₂, ... и все эти значения отрицательны. При этом квадрат модуля волновой функции электрона в атоме определяет вероятность нахождения электрона в том или ином месте внутри атома. Волновая функция свободного электрона отвечает бегущей волне.

Вероятность - величина существенно положительная. Волновая функция - величина комплексная, и, в частности, может принимать отрицательные значения. Для волн вероятности, как и для любых волн, возможна интерференция - сложение волновых функций может как увеличивать, так и уменьшать полную вероятность.

Создание квантовой механики позволило объяснить структуру атома водорода. При переходе к другим атомам возникало математическое осложнение - в многоэлектронных атомах нужно было учитывать не только кулоновское взаимодействие электронов с ядром, но и кулоновское взаимодействие электронов атома между собой. Но это затруднение можно было преодолеть. Более серьезной оказалась проблема описания закономерностей, связанных с периодическим законом Менделеева.

Изучение строения атома показывало, что атом обладает определенной структурой электронных орбит. Казалось бы, наиболее естественным было бы, что все электроны находились в состоянии с минимальной энергией, на ближайшей к ядру электронной орбите. Ведь согласно теории Бора, если бы электрон находился на более далекой орбите, он мог бы, испустив электромагнитный квант, перейти на более близкую к ядру орбиту. Но этого не происходило. Например, у атома лития, обладающего тремя электронами, на ближней орбите находятся только два электрона, а третий обладает более высокой энергией, и тем не менее этот атом стабилен. Электрон с высоко лежащей орбитой на нижний уровень не переходит. И подобными свойствами обладала структура атомов всех остальных более тяжелых, чем литий, элементов. Чтобы объяснить такую сложную структуру заполнения электронных орбит в атомах, Паули предложил принцип запрета: два электрона не могут находиться в одном и том же состоянии. Если они обладают одинаковой энергией, у них должны отличаться другие характеристики. Результаты опытов по изучению поведения атомов в магнитном поле легко объяснялись, если бы электрон обладал собственным вращательным моментом, который назвали спином. Без учета спина заполнение орбит подчинялось правилу: на каждой орбите не более двух электронов. С учетом спина электрона правило Паули формулируется еще проще: на каждой данной орбите и с данным направлением спина может находиться только один электрон (или ни одного электрона). Спин, то есть вращение электрона приводит к тому, что электрон ведет себя не только как точечный заряд, но и как маленький круговой ток, то есть как магнитик.

Магнитные измерения подтверждают именно приведенную выше формулировку принципа Паули: 2 электрона, находящиеся в одном "пространственном" состоянии (на старом языке - на одной орбите) должны иметь спины, направленные в противоположные стороны, и суммарный магнитный момент таких двух электронов равен нулю.

Спин имеет размерность вращательного момента: размерность импульса, помноженную на размерность расстояния, то есть г·см²/с, а это как раз размерность постоянной Планка h. В квантовой механике вращательный момент L оказывается целым, кратным h, причем вращательному моменту L (в единицах h) отвечают 2L+1 различных состояний с различными значениями проекции на данную ось. Спин электрона (в единицах h) равен 1/2 и может иметь две различные проекции +1/2 и -1/2 на данную ось.

Комментарий: Подчеркнем, что речь идет о проекциях на любую ось. Величина проекций равна +1/2 и -1/2 независимо от направления оси. Иногда условно говорят о состояниях "спин вверх" и "спин вниз". Понятно, что с тем же успехом можно говорить "вправо" - "влево". Число состояний - два - не зависит от этого выбора. Если есть магнитное поле, то оно выделяет эти два состояния: состояние с направлением спина по полю имеет энергию +mH и энергию -mH - против поля. Число состояний (два) имеет чисто квантовую природу и равно числу возможных проекций спина s=1/2 на данную ось: (2s+1).

На одном и том же энергетическом уровне электроны обладают различной величиной проекции вращательного момента или направлением спина. Добавляя электроны, мы будем наблюдать заполнение энергетического уровня до тех пор, пока все возможные различия электронных состояний не будут исчерпаны. Если оболочка заполнена и все возможные отличающиеся друг от друга состояния уже заняты, на эту оболочку больше нельзя добавить электроны. Добавление электронов приведет к заполнению следующих более высоколежащих орбит, с которых нельзя перейти на заполненные до отказа низколежащие энергетические уровни.

Так принцип Паули позволил объяснить химические свойства элементов, определяемые электронами внешних незаполненных оболочек. Периодичность в заполнении электронных оболочек давала фундаментальное физическое обоснование периодическому закону Менделеева. Принцип Паули позволил объяснить наблюдаемую структуру электронных оболочек атомов, насыщение этих оболочек, отсутствие переходов электронов высоколежащих уровней на низколежащие уровни многоэлектронных атомов.

Комментарий: Подчеркнем, что принцип Паули - это совсем не электрическое или иное отталкивание электронов. Этот принцип отражает антисимметрию волновых функций электронов, наличие у электронов полуцелого спина. Статистические свойства бозонов ведут к симметрии их волновых функций. Например, два ядра ⁴Не описываются симметричной волновой функцией, хотя каждое из них состоит из 4 фермионов, то есть частиц с полуцелым спином - двух протонов и двух нейтронов. Мы сознаем, что эти краткие замечания могут в лучшем случае возбудить интерес к свойствам ядер, атомов и молекул.

Если на электрон или любую другую квантово-механическую систему оказывается воздействие, то решения уравнения Шредингера дают ответ на вопрос об изменении состояния системы со временем. Ответ оказывается вероятностным: через некоторое время система может с разной вероятностью оказаться в разных состояниях. Решая уравнение Шредингера, можно определить, с какой именно вероятностью система окажется в том или ином состоянии.

Но была в теории Шредингера одна трудность. Теория относительности требовала одинакового описания явлений во всех инерциальных системах отсчета. Этому требованию уравнение Шредингера не удовлетворяло.

В книге мы уделяем несоответственно мало внимания квантовой механике атомов. Замечательные области - квантовая механика молекул, квантовая химия, теория твердых тел (диэлектриков, полупроводников, металлов) - остаются за рамками нашего повествования. Но невозможно объять необъятное, как сказал еще Козьма Прутков. К тому же развитие квантовой механики в этих областях скорее похоже на повесть о мирной семейной жизни героев, бурно сражавшихся в молодости в той драме идей, которую мы стараемся изложить. Но и идиллии имеют своих читателей, которых мы отсылаем к прекрасным книгам Я.И.Френкеля, Л.Де Бройля, Э.В.Шпольского и других.

Мы перескакиваем из эпохи 1905-1912 годов сразу в 1928 год, хотя именно в 1912-1928 годах были заложены все основы атомной физики, молекулярной физики, молекулярной биологии. Но наша тема другая.

Я.Б.Зельдович, М.Ю.Хлопов, 1988 год